Trójkąt prostokątny

Zadanie [6 pkt]

Dany jest trójkąt prostokatny o przeciwprostokątnej długości 26 cm. Jedna przyprostokątna jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Trójkąt ten podzielono prostą prostopadłą do dłuższej przyprostokątnej i przechodzącą przez jej środek. Oblicz pola figur powstałych w wyniku podziału trójkata tą prostą.

Sposób nr1
Z treści zadania zauważamy, że mamy teoretycznie dwie niewiadome jakimi sa przyprostokątne trojkąta. Dana jest nam informacja o długości boków. Zatem oznaczmy sobie krótszy bok jako niewiadomą ,,x” natomiast dłuższy ,,x+14”.
Co dalej?
Oczywiście pierwszą rzeczą powinno być okreslenie dziedziny naszej niewiadomej ,,x”. Skoro jest to bok figury musi być on dodatni.
Nasze założenie:
x>0
Możemy skorzystać ze znanego nam twierdzenia Pitagorasa aby wyznaczyć nasz ,,x”.
$x^{2}+(x+14)^{2}=26^{2}$
$x^{2}+x^{2}+28x+196=676$
$2x^{2}+28x-480=0$ $/\div2$
$x^{2}+14x-240=0$
Mając funkcje kwadratową liczymy delte.
$\Delta=196-4(1\cdot(-240))=1156$
$\sqrt{\Delta}=34$
$x_{1}=\frac{-14-34}{2}=-24 \notin{D}$
$x_{2}=\frac{-14+34}{2}=10$
$x_{1}$ nie pasuje do naszej dziedziny x>0 więc pod uwage bierzemy tylko $x_{2}$
Odczytujemy zatem długości boków odpowiednio 10,24,26 cm.
Nasza prosta przecinająca trójkąt ABC w punktach D i E dzieli go na trapez ABDE oraz trojkat DE.
Na mocy cechy podobieństwa trójkątów KKK(Kąt-Kąt-Kąt) mozemy ułożyc proporcję:
$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DC}$ z czego ostatecznie po podstawieniu naszych danych uzyskujemy:
$DE=\frac{120}{24}=5 cm^{2}$
Mając długość odcinka DE pozostaje nam policzyć pola figur.
$P_{DEC}=\frac{5\cdot12}{2}=30 cm^{2}$
$P_{ABDE}=\frac{10+5}{2}\cdot12=90 cm^{2}$
Co kończy zadanie.

Sposób nr 2

Rozwiążmy to zadanie korzystając z funkcji trygonometrycznych.
Obierzmy kąt między bokami AB i BC i oznaczmy go jako $\alpha$
Wyznaczmy $\sin\alpha\cos\alpha$
$\sin\alpha=\frac{x+14}{26}$
$\cos\alpha=\frac{x}{26}$
Mając te dane podstawiamy je do jedynki trygonometrycznej
$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$
$\frac{(x+14)^{2}}{26^{2}}+\frac{x^{2}}{26^{2}}=1$
Wykonując powyższe obliczenia otrzymamy tę sama funkcje kwadratową i te same pierwiastki.
$x^{2}+14x-240=0$
$\Delta=196-4(1\cdot(-240))=1156$
$\sqrt{\Delta}=34$
$x_{1}=\frac{-14-34}{2}=-24 \notin{D}$
$x_{2}=\frac{-14+34}{2}=10$
Mając już boki, możemy skorzystac bezposrednio ze skali podobieństwa.Wyznaczamy ją.
$\frac{AC}{DC}=\frac{AB}{DE}=2=k(skala.podobieństwa)$
Wyznaczmy DE poniewaz tego odcinka szukamy
$DE=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5 cm$
Mamy już wszystkie dane a więc pozostaje nam obliczenie pól powierzchni danych figur tak jak poprzednio.
$P_{DEC}=\frac{5\cdot12}{2}=30 cm^{2}$
$P_{ABDE}=\frac{10+5}{2}\cdot12=90 cm^{2}$

Matura Podstawowa

Jasio

Ciąg geometryczny

Leave A Reply Anuluj pisanie odpowiedzi

Matura Podstawowa

You may also like

Leave A Reply Anuluj pisanie odpowiedzi