Ciąg geometryczny

Zadanie [3pkt]

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi 26. A suma trzech kolejnych wyrazów wynosi 702.Który wyraz ciągu wynosi 162?

Sposób nr 1
Zapisujemy sumy poszczególnych wyrazów:
$a_{1}+a_{2}+a_{3}=26$
$a_{4}+a_{5}+a_{6}=702$
Aby znaleźć wyraz o wartości 162 musimy znać wartość naszego ilorazu $q$ oraz pierwszy wyraz ciągu. Upraszczamy więc nasze wyrazenie.
Podstawmy samo $a$ jako pierwszy wyraz ciągu . Otrzymujemy odpowiednio:
$a+aq+aq^{2}=26$
$aq^{3}+aq^{4}+aq^{5}=702$
No dobrze.. coż nam to dało? Zauważmy, że w obu sumach powtarza się $a$ oraz $q$ , wyciagnijmy więc to co wspólne przed nawias:
$a(1+q+q^{2})=26$
$aq^{3}(1+q+q^{2})=702$
W obu sumach pojawia się identyczne wyrażenie $a(1+q+q^{2})$ wstawmy więc wartosc tego wyrazenia do naszej sumy:
$q^{3}\cdot26=702/\div26$
$q^{3}=27$
$q=3$
Liczymy pierwszy wyraz ciągu
$a(1+3+9)=26/\div13$
$a=2$
Dysponujemy już wszystkimi potrzebnymi danymi do obliczenia numeru wyrazu ciągu odpowiadającemu 162.
$162=aq^{n}$
$162=2\cdot3^{n}/\div2$
$81=3^{n}$
$3^{4}=81$
$n=4$
$aq^{4}=162=a_{5}$
ODP:Piąty wyraz ciągu geometrycznego wynosi 162.