Losowanie bez zwracania

Zadanie[4pkt]

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych do 50 włącznie losujemy kolejno dwa razy po jednej
liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma
wylosowanych liczb będzie równa 40. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego
nieskracalnego.

Sposób nr 1

Wypisujemy wszystkie możliwości losowania:

Za pierwszym razem losujemy z 41 liczb(10-50), gdy wylosujemy jedną , pozostaje już 40.

$|\Omega|=41\cdot40=1640$

Zdarzenie które nas interesuje oznaczmy jako A-wylosowanie liczb, których suma wynosi 40.

Wypiszmy te liczby:

A={10,30; 11,29; 12,28; 13,27; 14,26; 15,25; 16,24; 17,23; 18,22; 19,21; 21,19; 22,18; 23,17; 24,16; 25,15; 26,14; 27,13; 28,12; 29,11; 30,10}

A więc moc naszego zbioru |A|=20.

Liczymy nasze prawdopodobieństwo:

$P(A)=\frac{A}{\Omega}=\frac{20}{1640}=\frac{1}{82}$

Sposób nr 2

Liczymy Omege wiedząc, że interesuje nas wybór 2 liczb spośród 41

$|\Omega|=\binom{41}{2}=\frac{41!}{39!\cdot2!}=\frac{41\cdot40}{2}=820$

Teraz zapisujemy nasze zdarzenia lecz z racji tego, że uwzglednilismy losowanie podwójne w naszej $\Omega$ wypisujemy wszystkie liczby, które spełniają warunki zadania bez zmiany ich miejsc.