Równanie trygonometryczne

Zadanie[5pkt]

Rozwiąż równanie |1-4\sin(x-\frac{\Pi}{4})|=1 dla x\in\langle0;2\Pi\rangle.

Upraszczamy nasze wyrażenie do postaci gdzie bedziemy mogli przyrównać wartość sinusa do liczby po przeciwnej stronie równania.

Bedą dwa przypadki z racji wartości bezwzględnej.

Przypadek nr1

1-4\sin(x-\frac{\Pi}{4})=1

-4\sin(x-\frac{\Pi}{4})=0/\div-4

\sin(x-\frac{\Pi}{4})=0

(x-\frac{\Pi}{4})=0\cup{x}-\frac{\Pi}{4}=\Pi

x=\frac{\Pi}{4}+2k\pi\cup{x}=\frac{5\Pi}{4}+2k\pi gdzie k\in{C}

Taki zapis oznacza cykliczne powtarzanie się naszych rozwiązań na wykresie funkcji sin co 2\pi.

Przypadek nr 2

1-4\sin(x-\frac{\Pi}{4})=-1

-4\sin(x-\frac{\Pi}{4})=-2/\div(-4)

\sin(x-\frac{\Pi}{4})=\frac{1}{2}

x-\frac{\Pi}{4}=\frac{\Pi}{6}\cup{x}-\frac{\Pi}{4}=\frac{5\Pi}{6}

x=\frac{5\Pi}{12}+2k\pi\cup{x}=\frac{13\Pi}{12}+2k\pi

Rozwiązaniami naszego równania jest część wspólna obliczonych X z przedziałem z treści zadania czyli:

x_{1}=\frac{5\Pi}{12}\cup{x_{2}}=\frac{13\Pi}{12}\cup{x_{3}}=\frac{\Pi}{4}\cup{x_{4}}=\frac{5\Pi}{4}

Rafał

You may also like

Leave A Reply

Zaloguj się:



Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone