Podwójna wartość bezwzględna

Zadanie [5pkt]

Oblicz

$|2x-6|+\sqrt{x^{2}+4x+4}<10$

Zauważamy pod pierwiastkiem wzór skróconego mnożenia i wyciagamy spod pierwiastka wartość bezwględna :

$|2x-6|+|x+2|<10$

Teraz zaznaczamy na osi liczbowej miejsca zerowe naszych wartości bezwzględnych, 3,-2

Powstaja nam 3 przedziały

$(-\infty;-2>\cup{(-2;3>}\cup{(3;\infty)}$

Jak widzisz są one domknięte i otwarte, dlaczego?

Przedział domknięty $(-\infty;-2>$ oznacza wszystkie liczby nie większe od -2 ponieważ jest ona liczbą graniczną w naszej wartości bezwzględnej. Powyżej tej liczby -2 wartośc bezwzględna bedzie zbędna gdyz nasze wyrazenie |x+2| dla liczb większych od -2 jest dodatnie.

Rozwiazujemy kolejne nierownosci:

$1^\circ$

Bierzemy pod uwage dane liczby z przeciwnymi znakami ponieważ dla obu wyrażeń 2x-6 oraz x+2 dowolna liczba z przedziału $(-\infty;-2>$ wstawiona za nasz X powoduje, że nasze wyrażenia są ujemne. Wartośc bezwzgledna zmienia znak naszego wyrażenia na przeciwny więc aby liczby ,,stały się dodatnie” obliczamy je z minusem czyli przeciwnym znakiem.

$-(2x-6)-(x+2)<10$

$-2x+6-x-2<10$

$-3x<10$

$x>\frac{10}{3}$

Nie ma częsci wspólnej między zbiorem $(-\infty;-2>$ a zbiorem powstałym w wyniku nierówności. Jezeli nie mamy czesci wspólnej znaczy, że żaden x z powyższej nierówności nie spełnia warunków naszego zadania.

$2^\circ$