Podwójna wartość bezwzględna
Zadanie [5pkt]
Oblicz
Zauważamy pod pierwiastkiem wzór skróconego mnożenia i wyciagamy spod pierwiastka wartość bezwględna :
Teraz zaznaczamy na osi liczbowej miejsca zerowe naszych wartości bezwzględnych, 3,-2
Powstaja nam 3 przedziały
Jak widzisz są one domknięte i otwarte, dlaczego?
Przedział domknięty oznacza wszystkie liczby nie większe od -2 ponieważ jest ona liczbą graniczną w naszej wartości bezwzględnej. Powyżej tej liczby -2 wartośc bezwzględna bedzie zbędna gdyz nasze wyrazenie |x+2| dla liczb większych od -2 jest dodatnie.
Rozwiazujemy kolejne nierownosci:
Bierzemy pod uwage dane liczby z przeciwnymi znakami ponieważ dla obu wyrażeń 2x-6 oraz x+2 dowolna liczba z przedziału wstawiona za nasz X powoduje, że nasze wyrażenia są ujemne. Wartośc bezwzgledna zmienia znak naszego wyrażenia na przeciwny więc aby liczby ,,stały się dodatnie” obliczamy je z minusem czyli przeciwnym znakiem.
Nie ma częsci wspólnej między zbiorem a zbiorem powstałym w wyniku nierówności. Jezeli nie mamy czesci wspólnej znaczy, że żaden x z powyższej nierówności nie spełnia warunków naszego zadania.
Teraz bierzemy pod uwage drugi zbiór jakim jest (-2;3> i szukamy czesci wspolnej aby wyznaczyć wszystkie x spełniające nierówność.
Część wspólna:
I bierzemy pod uwage ostatni przedział . Postępujemy tak samo jak wyżej.
Część wspólna wynosi:
Teraz sumujemy nasze rozwiązania w celu podania wszystkich możliwych przypadków poprawnego rozwiązania i otrzymujemy