Trapez wpisany w okrąg

Zadanie [5pkt]

W okrąg wpisano trapez równoramienny o kącie przy dłuższej podstawie 30^\circ oraz długości dłuższej podstawy 15\sqrt3 i ramieniu o długości 6. Oblicz promień okręgu.

Sposób nr 1

Odrazu zauwazamy trójkąt EBC który jest szczegolnym ze wzgledu na swoje kąty. Rozpisujemy go jak na rysunku zgodnie z trójkątem równobocznym.

Wyznaczamy H=3

|AE|=3\sqrt3

Musimy obliczyć naszą przekątną |AC| w celu uzyskania wszystkich boków trójkąta ABC który jest wpisany w okrąg.

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa:

(12\sqrt3)^{2}+3^{2}=|DB|^{2}

432+9=|DB|^{2}

|DB|=21

Majac przekątną trapezu mamy wszystkie boki trojkąta ABC.

Obliczymy R ze wzoru na pole:

P=\frac{abc}{4R}

Obliczmy zatem pole trojkata:

P=\frac{ah}{2}=\frac{15\sqrt3\cdot3}{2}=22,5\sqrt3

R=\frac{abc}{4P}

R=\frac{15\sqrt3\cdot6\cdot21}{90\sqrt3}

R=21

Sposób nr 2

Aby obliczyc przekątną korzystamy z tw cosinusów:

|DB|^{2}=6^{2}+(15\sqrt3)^{2}-2\cdot{6\cdot{15\sqrt3}}\cdot\cos{30^\circ}

|DB|^{2}=36+675-270=441=>|DB|=21

Teraz liczymy pole trójkąta:

P=\frac{1}{2}\cdot{|AB|}\cdot{|AD|}\cdot{sin\alpha}=\frac{1}{2}\cdot{15\sqrt3}\cdot{6}\cdot{\frac{1}{2}}=22,5\sqrt3

R=\frac{abc}{4P}

R=\frac{15\sqrt3\cdot6\cdot21}{90\sqrt3}

R=21

Rafał

You may also like

Leave A Reply

Zaloguj się:



Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone