Działanie z wykorzystaniem ciągów

Zadanie[4pkt]

Oblicz x.

2^{1}\cdot2^{3}\cdot2^{5}....\cdot2^{4x-2}=128\cdot4^{2x-1}

Zauważmy, że wykładniki potęg tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2.

Jesli mnozymy potegi o tej samej podstawie to sumujemy ich wykładniki.

2^{1+3+5...+4x-2}

Wyraz pierwszy naszego ciągu jest równy w tym przypadku 1 a ostatni 4x-2

Policzmy sumę ciągu arytmetycznego znajdujacego się w wykładniku potęgi liczby 2.

S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}=\frac{1+(4x-2)}{2}\cdot{n}=(4x-1)\cdot{n}\cdot{\frac{1}{2}}

Musimy obliczyć n. Skąd? ze wzoru ogolnego na ciąg arytmetyczny:

a_{n}=a_{1}+(n-1)r

4x-2=2+(n-1)2

4x-2=2n

n=2x-1

Mamy już liczbe wyrazów naszego ciagu a wiec wstawmy do wzoru.

S_{n}=(1+ (4x-2))\cdot{2x-1}\cdot\frac{1}{2}=4x^2-2x-x+\frac{1}{2}

I nasza lewa strona równania przybiera postać:

2^{4x^2-3x+\frac{1}{2}}

Lewą stronę równania mamy uproszczoną do maksimum. Zajmijmy się prawą aby można było ją porównać z lewą:

128=2^{7}

(2^{2})^{2x-1}=2^{4x-2}

2^{7}\cdot{2^{4x-2}}=2^{4x+5}

Lewa strona=Prawa strona

2^{4x^2-3x+\frac{1}{2}}=2^{4x+5}

4x^2-3x+\frac{1}{2}=4x+5

4x^{2}-7x-\frac{9}{2}=0

Dla jakiego x nasze rownanie wyniesie 0?

\Delta=49+72=121

\sqrt{\Delta}=11

x_{1}=\frac{7-11}{8}=-\frac{4}{8}

x_{2}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}

Pierwiastki naszego równania są odpowiedzą gdyż z poczatku naszych obliczeń doszliśmy do postaci równania kwadratowego, którego to x muszą wynieść tyle aby po podstawieniu dały nam 0.

 

 

Rafał

You may also like

Leave A Reply

Zaloguj się:



Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone