Punkty wspólne z okręgiem
Zadanie [6 pkt]
Punkty A(-2;10) i B(4;4) należą do okręgu o równaniu . Wyznacz współrzędne punktu C nalezacego do tego okręgu tak aby trójkąt ABC był równoboczny.
Sposób nr 1
Na samym początku zastanówmy się co będziemy potrzebowali do naszych obliczeń? Z pewnością długośc odcinka AB . Długośc tego odcinka powinna byc równa długości AC oraz BC skoro ma być to trójkąt równoboczny.
Teraz znajdzmy punkt spełniajacy nasz warunek. Skorzystajmy ze wzoru na długość odcinka:
Przyrównujemy wartości podpierwiastkowe gdyż wyrazenia pod pierwiastkiem muszą być takie same i możemy ominąc pierwiastek znajdujacy sie po obu stronach.
Wychodzi nam równanie funkcji liniowej. Musi ona należec do okręgu
Współrzędne punktu C wynoszą więc (x,x+6)
Możemy wstawic je zatem do naszego równania okręgu i szukamy punktów X i Y spelniajacych równanie:
Dla każdego x , odpowiednio wyznaczamy y ze wzoru y=x+6
Mamy dwa rozwiazania współrzędne punktu C.
Sposób nr 2
Wyznaczamy długość odcinka |AB| a nastepnie jego środek. Ze środka prowadzimy wysokość która łączy punkt C ze środkiem odcinka |AB|.
Współrzędne środka:
Wysokość trójkąta równobocznego:
Przyrównujemy długość odcinka do wzoru na odcinek ze wspolrzednymi punktu C i S.
Powstało nam równanie okręgu. Nasze dwa okręgi powinny przecinać się w dwóch punktach a więc analogicznie jak w sposobie pierwszym przyrównujemy je do siebie.
Współrzedne punktu C (x,-\frac{x}{3}+11-\frac{\sqrt6}{2})
Podstawiając do wzoru na okrąg otrzymamy te same wartości co w sposobie pierwszym a więc