Matura z matematyki - zadania maturalne, powtórka i przygotowanieMatura z matematyki - zadania maturalne, powtórka i przygotowanie
  • Strona Główna
  • Ciekawostki
  • Szkoła Podstawowa
    • Klasy 1-3
    • Klasy 4-6
    • Klasy 7-8
  • Matura Podstawowa
    • Kolumna 1
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
    • Kolumna 2
      • Obliczenia Procentowe
      • Planimetria
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Silnia. Współczynnik dwumianowy
    • Kolumna 3
      • Statystyka
      • Stereometria
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wzory skróconego mnożenia
  • Matura Rozszerzona
    • Kolumna 1
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
      • Planimetria
    • Kolumna 2
      • Obliczenia Procentowe
      • Pochodna funkcji
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Silnia. Współczynnik dwumianowy
      • Statystyka
    • Kolumna 3
      • Stereometria
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wielomiany
      • Wzór dwumianowy Newtona
      • Wzory skróconego mnożenia
  • O nas
  • Kontakt
    • Strona Główna
    • Ciekawostki
    • Szkoła Podstawowa
      • Klasy 1-3
      • Klasy 4-6
      • Klasy 7-8
    • Matura Podstawowa
      • Kolumna 1
        • Ciągi
        • Funkcje
        • Geometria analityczna
        • Kombinatoryka
        • Logarytmy
      • Kolumna 2
        • Obliczenia Procentowe
        • Planimetria
        • Potęgi i pierwiastki
        • Rachunek prawdopodobieństwa
        • Silnia. Współczynnik dwumianowy
      • Kolumna 3
        • Statystyka
        • Stereometria
        • Trygonometria
        • Wartość bezwzględna liczby
        • Wzory skróconego mnożenia
    • Matura Rozszerzona
      • Kolumna 1
        • Ciągi
        • Funkcje
        • Geometria analityczna
        • Kombinatoryka
        • Logarytmy
        • Planimetria
      • Kolumna 2
        • Obliczenia Procentowe
        • Pochodna funkcji
        • Potęgi i pierwiastki
        • Rachunek prawdopodobieństwa
        • Silnia. Współczynnik dwumianowy
        • Statystyka
      • Kolumna 3
        • Stereometria
        • Trygonometria
        • Wartość bezwzględna liczby
        • Wielomiany
        • Wzór dwumianowy Newtona
        • Wzory skróconego mnożenia
    • O nas
    • Kontakt

    Matura Podstawowa Geometria analityczna

    • Home
    • Geometria analityczna
    • Punkty wspólne z okręgiem

    Punkty wspólne z okręgiem

    • Posted by Rafał
    • Categories Geometria analityczna, Matura Rozszerzona
    • Date 25 sierpnia 2017
    • Comments 0 comment

    Zadanie [6 pkt]

    Punkty A(-2;10) i B(4;4) należą do okręgu o równaniu x^2+y^2+4x-8y=16 . Wyznacz współrzędne punktu C nalezacego do tego okręgu tak aby trójkąt ABC był równoboczny.

    Sposób nr 1

    Na samym początku zastanówmy się co będziemy potrzebowali do naszych obliczeń? Z pewnością długośc odcinka AB . Długośc tego odcinka powinna byc równa długości AC oraz BC skoro ma być to trójkąt równoboczny.

    |AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(4-10)^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt72=6\sqrt2

    Teraz znajdzmy punkt spełniajacy nasz warunek. Skorzystajmy ze wzoru na długość odcinka:

    |AC|=\sqrt{(x+2)^2+(y-10)^2}

    |BC|=\sqrt(x-4)^2+(y-4)^2}

    |AC|=|BC|

    \sqrt{(x+2)^2+(y-10)^2}=\sqrt{(x-4)^2+(y-4)^2}}

    Przyrównujemy wartości podpierwiastkowe gdyż wyrazenia pod pierwiastkiem muszą być takie same i możemy ominąc pierwiastek znajdujacy sie po obu stronach.

    x^2+4x+4+y^2-20y+100=x^2-8x+16+y^2-8y+16

    12x-12y+72=0/\div12

    x-y+6=0

    y=x+6

    Wychodzi nam równanie funkcji liniowej. Musi ona należec do okręgu

    Współrzędne punktu C wynoszą więc (x,x+6)

    Możemy wstawic je zatem do naszego równania okręgu i szukamy punktów X i Y spelniajacych równanie:

    x^2 + x^2 + 12x + 36 +4x-8x-48-16=0

    2x^2 + 8x-28 = 0\div2

    x^2 + 4x - 14 = 0

    \Delta = 16 +56 = 72

    \sqrt\Delta = 6\sqrt2

    x_{1} = \frac{-4-6\sqrt2}{2}=-2-3\sqrt2

    x_2=-2+3\sqrt2

    Dla każdego x , odpowiednio wyznaczamy y ze wzoru y=x+6

    y_1=4-3\sqrt2

    y_2=4+3\sqrt2

    Mamy dwa rozwiazania współrzędne punktu C.

    C(x_{1} =-2-3\sqrt2,y_1=4-3\sqrt2)

    C(x_2=-2+3\sqrt2,y_2=4+3\sqrt2)

    Sposób nr 2

    Wyznaczamy długość odcinka |AB| a nastepnie jego środek. Ze środka prowadzimy wysokość która łączy punkt C ze środkiem odcinka |AB|.

    |AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(4-10)^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt72=6\sqrt2

    Współrzędne środka:

    S(\frac{-2+4}{2},\frac{10+4}{2})

    S_{|AB|}=(1,7)

    Wysokość trójkąta równobocznego:

    h=\frac{a\sqrt3}{2}

    h=\frac{6\sqrt6}{2}=3\sqrt6

    h=|CS_{|AB|}|=3\sqrt6

    Przyrównujemy długość odcinka do wzoru na odcinek ze wspolrzednymi punktu C i S.

    3\sqrt6=\sqrt{(x-1)^2+(y-7)^2}

    x^2+y^2+2x-14y+50-3\sqrt6=0

    Powstało nam równanie okręgu. Nasze dwa okręgi powinny przecinać się w dwóch punktach a więc analogicznie jak w sposobie pierwszym przyrównujemy je do siebie.

    x^2+y^2+2x-14y+50-3\sqrt6=x^2+y^2+4x-8y-16

    y=-\frac{x}{3}+11-\frac{\sqrt6}{2}

    Współrzedne punktu C (x,-\frac{x}{3}+11-\frac{\sqrt6}{2})

    Podstawiając do wzoru na okrąg otrzymamy te same wartości co w sposobie pierwszym a więc

    C(x_{1} =-2-3\sqrt2,y_1=4-3\sqrt2)

    C(x_2=-2+3\sqrt2,y_2=4+3\sqrt2)

    Download WordPress Themes Free
    Download Premium WordPress Themes Free
    Download Best WordPress Themes Free Download
    Download Premium WordPress Themes Free
    online free course
    download huawei firmware
    Download WordPress Themes
    udemy paid course free download
    • Share:
    Rafał

    Previous post

    Obliczanie ilości sposobów
    25 sierpnia 2017

    Next post

    Wyznacz wartość parametru m
    26 sierpień, 2017

    You may also like

    • Funkcje
      Parametr m a wartosci funkcji
      2 wrzesień, 2017
    • Planimetria
      Kąty w trojkącie
      1 wrzesień, 2017
    • Ciagi
      Wyrazy ciągu
      31 sierpień, 2017

    Leave A Reply Anuluj pisanie odpowiedzi

    Musisz się zalogować, aby móc dodać komentarz.

    Zaloguj się:

    Facebook Google

    Szukaj

    Zaloguj się:

    Facebook Google

    Kategorie

    • Ciekawostki
    • Matura Podstawowa
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
      • Planimetria
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Stereometria
      • Trygonometria
    • Matura Rozszerzona
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Logarytmy
      • Planimetria
      • Pochodna funkcji
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wielomiany
      • Wzory skróconego mnożenia
    • Szkoła Podstawowa
      • Klasy 4-6

    Najnowsze Posty

    Parametr m a wartosci funkcji
    02wrz2017
    Kąty w trojkącie
    01wrz2017
    Wyrazy ciągu
    31sie2017

    KONTAKT

    Osoba Kontaktowa:
    Krystian Rosłon
    e-mail: krystian@zadaniazmatmy.pl

    POPRAWNOŚĆ ROZWIĄZAŃ

    Właściciele serwisu www.zadaniazmatmy.pl nie odpowiadają za poprawność rozwiązanych zadań. W przypadku nieprawidłowości prosimy o wiadomość do osoby kontaktowej.

    COOKIES

    W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies w celu świadczenia Państwu usług na najwyższym poziomie. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Państwa urządzeniu końcowym.

    Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone