Matura z matematyki - zadania maturalne, powtórka i przygotowanieMatura z matematyki - zadania maturalne, powtórka i przygotowanie
  • Strona Główna
  • Ciekawostki
  • Szkoła Podstawowa
    • Klasy 1-3
    • Klasy 4-6
    • Klasy 7-8
  • Matura Podstawowa
    • Kolumna 1
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
    • Kolumna 2
      • Obliczenia Procentowe
      • Planimetria
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Silnia. Współczynnik dwumianowy
    • Kolumna 3
      • Statystyka
      • Stereometria
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wzory skróconego mnożenia
  • Matura Rozszerzona
    • Kolumna 1
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
      • Planimetria
    • Kolumna 2
      • Obliczenia Procentowe
      • Pochodna funkcji
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Silnia. Współczynnik dwumianowy
      • Statystyka
    • Kolumna 3
      • Stereometria
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wielomiany
      • Wzór dwumianowy Newtona
      • Wzory skróconego mnożenia
  • O nas
  • Kontakt
    • Strona Główna
    • Ciekawostki
    • Szkoła Podstawowa
      • Klasy 1-3
      • Klasy 4-6
      • Klasy 7-8
    • Matura Podstawowa
      • Kolumna 1
        • Ciągi
        • Funkcje
        • Geometria analityczna
        • Kombinatoryka
        • Logarytmy
      • Kolumna 2
        • Obliczenia Procentowe
        • Planimetria
        • Potęgi i pierwiastki
        • Rachunek prawdopodobieństwa
        • Silnia. Współczynnik dwumianowy
      • Kolumna 3
        • Statystyka
        • Stereometria
        • Trygonometria
        • Wartość bezwzględna liczby
        • Wzory skróconego mnożenia
    • Matura Rozszerzona
      • Kolumna 1
        • Ciągi
        • Funkcje
        • Geometria analityczna
        • Kombinatoryka
        • Logarytmy
        • Planimetria
      • Kolumna 2
        • Obliczenia Procentowe
        • Pochodna funkcji
        • Potęgi i pierwiastki
        • Rachunek prawdopodobieństwa
        • Silnia. Współczynnik dwumianowy
        • Statystyka
      • Kolumna 3
        • Stereometria
        • Trygonometria
        • Wartość bezwzględna liczby
        • Wielomiany
        • Wzór dwumianowy Newtona
        • Wzory skróconego mnożenia
    • O nas
    • Kontakt

    Matura Podstawowa Ciągi

    • Home
    • Ciągi
    • Ciag arytmetyczny i geometryczny

    Ciag arytmetyczny i geometryczny

    • Posted by Rafał
    • Categories Ciągi, Matura Podstawowa
    • Date 29 sierpnia 2017
    • Comments 0 comment

    Zadanie[5pkt]

    Ciag (a,b,c) jest arytmetyczny i suma jego wyrazów wynosi 36. Ciąg (a,b+4,c+16) jest geometryczny. Oblicz a b c.

    Sposób nr 1

    Z definicji ciągu arytmetycznego zapiszmy sume 3 pierwszych wyrazow:

    a_1+a_1+r+a_1+2r=36

    3a_1+3r=36/\div3

    a_1+r=12=a_2=b

    Suma a+c=24

    Znamy b które wynosi 12.

    Skorzystajmy teraz z definicji ciągu geometrycznego:

    \frac{b+4}{a}=\frac{c+16}{b+4}

    Mnożąc po przekątnej otrzymamy:

    16^2=a(c+16)

    256=a(c+16)

    Możemy wyznaczy dowolna litere:

    a=\frac{256}{c+16}

    Mamy wyznaczone a ktore mozemy wstawic do sumy a+c=24

    \frac{256}{c+16}+c=24

    \frac{256}{c+16}+\frac{c(c+16)}{c+16}=\frac{c^2+16c+256}{c+16}

    \frac{c^2+16c+256}{c+16}=24

    c^2+16c+256=24c+384

    c^2-8c-128=0

    Obliczamy nasze c:

    \Delta=64+512=576

    \sqrt\Delta=24

    c_1=\frac{8-24}{2}=-8

    c_2=\frac{8+24}{2}=16

    Mamy dwa rozwiązania:

    c_1=-8

    c_2=16

    Oznacza to, że ciąg bedzie prawdziwy dla dwóch par liczb.

    Obliczmy brakujące a ze wzoru na przykład na sumę a+c=24

    a=24-c

    a_1=24-(-8)=32

    a_2=24-16=8

    Podsumuwując mamy dwa układy liczb spełniajacych warunki zadania:

    \left\{\begin{array}{l} a_1=32\\b_1=12\\c_1=-8 \end{array}

    \left\{\begin{array}{l} a_2=8\\b_1=12\\c_1=16 \end{array}

    Sposób nr 2

    Znamy wzór na sume ciągu arytmetycznego i mozemy podstawic do niego nasze dane

    S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdotn

    S_3=36

    36=(a_1+r)\cdot3

    a_1+r=12=a_2=b

    Wyznaczyliśmy b ze wzoru na sumę.

    Spróbujmy zrobić to samo z ciągiem geometrycznym.

    S_{n}=a\frac{1-q^3}{1-q}

    Suma ciagu geometrycznego jest równa 56.

    a+aq+aq^2=56

    a+16+aq^2=56

    a+aq^2=40

    Nasze q można wyznaczyć w zalezności od a, wiemy, że iloraz dwoch wyrazow jest rowny q wiec:

    \frac{b+4}{a}=\frac{16}{a}=q

    Wstawiamy q do wyznaczonej  sumy:

    a+a(\frac{16}{a})^2=40

    a+\frac{256}{a}=40

    \frac{a^2}{a}+\frac{256}{a}=40

    \frac{a^2+256}{a}=40

    a^2+256-40a=0

    \Delta=1600-1024=576

    a_1=8

    a_2=32

    Wyliczamy c z wyznaczaonej sumy :

    a+c=24

    c_1=24-a_1

    c_1=16

    c_2=24-32=-8

    \left\{\begin{array}{l} a_1=32\\b_1=12\\c_1=-8 \end{array}

    \left\{\begin{array}{l} a_2=8\\b_1=12\\c_1=16 \end{array}

     

     

    Premium WordPress Themes Download
    Download WordPress Themes Free
    Premium WordPress Themes Download
    Download Nulled WordPress Themes
    free download udemy paid course
    download samsung firmware
    Download Nulled WordPress Themes
    lynda course free download
    • Share:
    Rafał

    Previous post

    Ekstrema
    29 sierpnia 2017

    Next post

    Porównaj liczby
    30 Sierpień, 2017

    You may also like

    • Funkcje
      Wykaż że dla dowolnej liczby…
      29 Czerwiec, 2018
    • Funkcje
      Wiek jubilata
      3 Wrzesień, 2017
    • Trygonometria
      Obliczanie wartosci wyrazenia
      2 Wrzesień, 2017

    Leave A Reply Anuluj pisanie odpowiedzi

    Musisz się zalogować, aby móc dodać komentarz.

    Zaloguj się:

    Facebook Google

    Szukaj

    Zaloguj się:

    Facebook Google

    Kategorie

    • Ciekawostki
    • Matura Podstawowa
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Kombinatoryka
      • Logarytmy
      • Planimetria
      • Potęgi i pierwiastki
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Stereometria
      • Trygonometria
    • Matura Rozszerzona
      • Ciągi
      • Funkcje
      • Geometria analityczna
      • Logarytmy
      • Planimetria
      • Pochodna funkcji
      • Rachunek prawdopodobieństwa
      • Trygonometria
      • Wartość bezwzględna liczby
      • Wielomiany
      • Wzory skróconego mnożenia
    • Szkoła Podstawowa
      • Klasy 4-6

    Najnowsze Posty

    Parametr m a wartosci funkcji
    02Wrz2017
    Kąty w trojkącie
    01Wrz2017
    Wyrazy ciągu
    31Sie2017

    KONTAKT

    Osoba Kontaktowa:
    Krystian Rosłon
    e-mail: krystian@zadaniazmatmy.pl

    POPRAWNOŚĆ ROZWIĄZAŃ

    Właściciele serwisu www.zadaniazmatmy.pl nie odpowiadają za poprawność rozwiązanych zadań. W przypadku nieprawidłowości prosimy o wiadomość do osoby kontaktowej.

    COOKIES

    W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies w celu świadczenia Państwu usług na najwyższym poziomie. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Państwa urządzeniu końcowym.

    Wnosi matematykę w Twoje życie! © 2017. Wszelkie prawa zastrzeżone