Home
Ciągi
Ciag arytmetyczny i geometryczny

Ciag arytmetyczny i geometryczny

Posted by Rafał
Categories Ciągi, Matura Podstawowa
Date 29 sierpnia 2017
Comments 0 comment

Zadanie[5pkt]

Ciag (a,b,c) jest arytmetyczny i suma jego wyrazów wynosi 36. Ciąg (a,b+4,c+16) jest geometryczny. Oblicz a b c.

Sposób nr 1

Z definicji ciągu arytmetycznego zapiszmy sume 3 pierwszych wyrazow:

$a_1+a_1+r+a_1+2r=36$

$3a_1+3r=36/\div3$

$a_1+r=12=a_2=b$

Suma $a+c=24$

Znamy b które wynosi 12.

Skorzystajmy teraz z definicji ciągu geometrycznego:

$\frac{b+4}{a}=\frac{c+16}{b+4}$

Mnożąc po przekątnej otrzymamy:

$16^2=a(c+16)$

$256=a(c+16)$

Możemy wyznaczy dowolna litere:

$a=\frac{256}{c+16}$

Mamy wyznaczone a ktore mozemy wstawic do sumy $a+c=24$

$\frac{256}{c+16}+c=24$

$\frac{256}{c+16}+\frac{c(c+16)}{c+16}=\frac{c^2+16c+256}{c+16}$

$\frac{c^2+16c+256}{c+16}=24$

$c^2+16c+256=24c+384$

$c^2-8c-128=0$

Obliczamy nasze c:

$\Delta=64+512=576$

$\sqrt\Delta=24$

$c_1=\frac{8-24}{2}=-8$

$c_2=\frac{8+24}{2}=16$

Mamy dwa rozwiązania:

$c_1=-8$

$c_2=16$

Oznacza to, że ciąg bedzie prawdziwy dla dwóch par liczb.

Obliczmy brakujące a ze wzoru na przykład na sumę $a+c=24$

$a=24-c$

$a_1=24-(-8)=32$

$a_2=24-16=8$

Podsumuwując mamy dwa układy liczb spełniajacych warunki zadania:

$\left\{\begin{array}{l} a_1=32\\b_1=12\\c_1=-8 \end{array}$

$\left\{\begin{array}{l} a_2=8\\b_1=12\\c_1=16 \end{array}$

Sposób nr 2

Znamy wzór na sume ciągu arytmetycznego i mozemy podstawic do niego nasze dane

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdotn$

$S_3=36$

$36=(a_1+r)\cdot3$

$a_1+r=12=a_2=b$

Wyznaczyliśmy b ze wzoru na sumę.

Spróbujmy zrobić to samo z ciągiem geometrycznym.

$S_{n}=a\frac{1-q^3}{1-q}$

Suma ciagu geometrycznego jest równa 56.

$a+aq+aq^2=56$

$a+16+aq^2=56$

$a+aq^2=40$

Nasze q można wyznaczyć w zalezności od a, wiemy, że iloraz dwoch wyrazow jest rowny q wiec:

$\frac{b+4}{a}=\frac{16}{a}=q$

Wstawiamy q do wyznaczonej sumy:

$a+a(\frac{16}{a})^2=40$

$a+\frac{256}{a}=40$

$\frac{a^2}{a}+\frac{256}{a}=40$

$\frac{a^2+256}{a}=40$

$a^2+256-40a=0$

$\Delta=1600-1024=576$

$a_1=8$

$a_2=32$

Wyliczamy c z wyznaczaonej sumy :

$a+c=24$

$c_1=24-a_1$

$c_1=16$

$c_2=24-32=-8$

$\left\{\begin{array}{l} a_1=32\\b_1=12\\c_1=-8 \end{array}$

$\left\{\begin{array}{l} a_2=8\\b_1=12\\c_1=16 \end{array}$

Download Best WordPress Themes Free Download

Download Premium WordPress Themes Free

Download WordPress Themes Free

Download WordPress Themes

online free course

download lava firmware

Free Download WordPress Themes

ZG93bmxvYWQgbHluZGEgY291cnNlIGZyZWU=

Leave A Reply Anuluj pisanie odpowiedzi

Musisz się zalogować, aby móc dodać komentarz.

Zaloguj się: