Wykaż że dla dowolnej liczby k>2 istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista x taka że:
$4kx ^{2}+k=4x \sqrt{k(k-2)}+2$

Sposób 1

$4kx ^{2}+k=4x \sqrt{k(k-2)}+2$
Przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$4kx ^{2}-4x \sqrt{k(k-2)}+k-2=0$
Obliczyć deltę:
$\Delta=16(k(k-2))-16(k(k-2))=0$
Zatem równanie ma tylko jedno rozwiązanie.

Sposób 2

$4kx ^{2}+k=4x \sqrt{k(k-2)}+2$
Przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$4kx ^{2}-4x \sqrt{k(k-2)}+k-2=0$
Rozpisać jako:
$(2 \sqrt{k}x) ^{2} -4x \sqrt{k(k-2)}+ (\sqrt{k+2}) ^{2}=0$
Zwinąć we wzór:
$(2 \sqrt{k}x-\sqrt{k+2}) ^{2}=0$
Pierwiastek:
$2 \sqrt{k}x-\sqrt{k+2}=0$
Dodać: $\sqrt{k+2}$ :
$2 \sqrt{k}x=\sqrt{k+2}$
Podzielić przez $2 \sqrt{k}$ :
$x= \frac{\sqrt{k+2}}{2 \sqrt{k}}$
Dla każdej wartości k jest konkretna wartość x.