Wykaż że dla dowolnej liczby k>2 istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista x taka że: Sposób 1 Przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę: Obliczyć deltę: Zatem równanie ma tylko jedno rozwiązanie. Sposób 2 Przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę: Rozpisać jako: …
Zadanie [ 5pkt] W 2014 roku na uroczystości urodzinowej ktoś spytał jubilata ile ma lat. On odpowiedział: Jeżeli pomnożysz mój wiek sprzed 22 lat przez mój wiek za 36 lat to otrzymasz rok mojego urodzenia. Oblicz ile lat ma jubilat. …
Zadanie[3 pkt] Dany jest trojkąt prostokątny o wierzcholkach A(0,0),B(8,0),C(8,6). Oblicz iloczyn sinusów kątów ostrych w tym trójkącie. Zauważamy dlugości boków:
Zadanie [ 3 pkt] Spośród liczb pięciocyfrowych w których zapisie występują tylko cyfry 1 i 0 wylosowano jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że dzieli się ona przez 3. Sposób nr 1 Cecha podzielności przez 3: Suma cyfr danej liczby musi dzielic …
Zadanie [ 6pkt] Punkt A(a,5) nalezy do prostej o równaniu y=-3x+8. Oblicz a. Znajdz punkt B na osi OX który jest oddalony od punktu A o tyle samo co punkt A od miejsca zerowego C funkcji y=-3x+8. Oblicz pole powstałego …
Zadanie [4pkt] W okrąg o promieniu 6 wpisano trójkąt równoramienny . Oblicz dlugości jego boków jesli kąt między ramionami wynosi Sposób nr 1 Zauważamy, że promień okręgu r dzieli kąt ACB na połowe. Otrzymujemy wieć dwa razy po . Oznaczmy …
Zadanie[5pkt] Ciag (a,b,c) jest arytmetyczny i suma jego wyrazów wynosi 36. Ciąg (a,b+4,c+16) jest geometryczny. Oblicz a b c. Sposób nr 1 Z definicji ciągu arytmetycznego zapiszmy sume 3 pierwszych wyrazow: Suma Znamy b które wynosi 12. Skorzystajmy teraz z …
Zadanie[5pkt] Liczba jest pierwiastkiem równania . Oblicz a. Znajdz pozostałe pierwiastki równania. Zajmijmy sie naszą liczbą : Dzielac potęgi o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki: Jezeli ta liczba jest pierwiastkiem naszego rownania wstawmy ja w miejsce x: Nasz wielomian ma …
Zadanie [ 4 pkt] Oblicz ,jeżeli Kolejno możemy zapisac zależności miedzy naszymi niewiadomymi: => => ponieważ, =>=>=> Podstawiamy: Wyciagnijmy pierwiastki z liczb 64 i 16 Usuwamy niewymierność mnożąc przez 1 zapisane w postaci ilorazu pierwiastkow znajdujacych się w mianowniku
Zadanie[3pkt] W partii 50 myszek komputerowych 5 jest uszkodzonych.Wybieramy 3 myszki. Na ile sposóbow możemy wybrać myszki aby: a)żadna nie była uszkodzona b)co najwyżej jedna była uszkodzona Mamy 50 myszek i 5 uszkodzonych a więc łatwo obliczamy, że 45 jest …
Zadanie[5pkt] W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym pole powierzchni całkowitej jest 8 razy większe od pola podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do jego podstawy. Sposób nr 1 Zgodnie z treścią zapisujemy podane nam informacje: Wiemy, że w podstawie znajduje się …
Zadanie [4pkt] Rozwiąż nierówność: Sposób nr 1 Traktujemy nawiasy jako liczby a więc aby otrzymać 0 musimy jakąs liczbe pomnożyc przez 0. Oznacza to,że pierwszy lub drugi nawias musi przyjąc postać liczby 0. <- korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i …
ZADANIE[5pkt] Trójkąt o wierzchołkach A(0,0),B(12,0),C(0,y) jest prostokątny. Oblicz y wiedząc, że promień okręgu wpisanego w ten trójkat jest równy 4. Oznaczmy sobie nasz trójkąt tak jak na rysunku powyżej. Promień okręgu wynosi 4 a więc powstaje nam kwadrat o wymiarach …
Zadanie[4pkt] Rozwiąż równanie i wynik zapisz w postaci gdzie Skoro nasze równanie mamy uprościć do końcowej postaci potęgi o podstawie 2, wszystkie liczby sprawdzmy do tej własnie podstawy. Przy mnożeniu poteg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy. Natomiast po lewej …
Zadanie[3pkt] Jeżeli do licznika i mianownika dodamy połowe licznika to otrzymamy ułamek. Natomiast jeśli od licznika i mianownika odejmiemy 2 to otrzymamy . Wyznacz ten ułamek. Sposób nr 1 Zapisujemy równanie spełniające warunki zadania jednocześnie oznaczjąc x-licznik oraz y-mianownik naszego …